从“池塘涟漪”反推“石子落点”，新方法利用AI求解偏微分方程反问题

偏微分方程反问题被认为是数学中最具挑战性的问题之一。美国宾夕法尼亚大学工程学院研究团队提出一种利用人工智能（AI）求解偏微分方程反问题的新方法，为破解这一长期困扰数学与科学计算领域的难题提供了新思路。相关成果发表于新一期《机器学习研究汇刊》杂志。

从本质上看，微分方程是描述变化的数学工具，可用于刻画人口增长、热量扩散或化学反应随时间的演化。偏微分方程可处理更复杂的系统，能同时描述变量在空间和时间上的变化，例如天气系统的演变、材料中的热传导，以及DNA在细胞中的组织方式。

而偏微分方程反问题则更进一步。它不再是根据已知规则预测系统如何演化，而是从已观测到的结果出发，反推出产生这些结果的隐藏参数、作用力或动力学机制。

研究团队将这一过程形象比喻为“看着池塘里的涟漪，反推石子落点”。但在实际计算中，这类问题对稳定性和算力要求极高，尤其是在涉及高阶导数和噪声数据时，传统方法往往难以兼顾精度与效率。

为此，团队没有单纯依赖增加算力，而是从数学方法入手，引入源于20世纪40年代“平滑子”概念的“平滑子层”。这一方法通过在神经网络中先对数据进行平滑处理，再进行求导计算，从而避免了传统的“递归自动微分”方法在多次求导过程中不断放大噪声的问题。

研究表明，该方法在提升求解稳定性的同时，还降低了计算成本。以染色质研究为例，这类结构尺度仅约100纳米，是DNA在细胞核中的折叠形态，其是否“开放”直接决定基因能否被访问和表达，进而影响细胞功能、衰老及疾病过程。借助“平滑子层”，团队反推出驱动这些结构变化的表观遗传反应速率，即调控基因活性的化学变化速度，使研究从对结构的静态观测，进一步走向对动态演化机制的刻画。

“平滑子层”的潜力并不限于生物学。材料科学、流体力学等多个机器学习领域，同样面临高阶方程与噪声数据的挑战，这一框架有望提供更稳定高效的参数反演方法。